Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar Terhadap Sumbu-Y

Benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi). Misalnya, apabila daerah segitiga siku-siku diputar 360 derajat mengelilingi sumbu-y diperoleh benda putar yang berbentuk kerucut lingkar tegak, apabila daerah persegi panjang diputar sejauh 360 derajat mengelilingi sumbu-y maka diperoleh benda putar yang berbentuk silinder lingkar tegak atau tabung, dan lain sebagainya.

Pemutaran terhadap sumbu y, pada dasarnya rumusnya sama dengan pemutaran terhadap sumbu-x, hanya saja pada sumbu-y kita menggunakan batas bawah dan atas pengintegralan menguunakan garis y, dan berdasarkan kurva x atau g(y).

Contoh :
Rumuskan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di raster pada gambar berikut ini di putar sejauh 360 derajat mengelilingi sumbu Y, kemudian hitunglah volume benda putar yang terjadi.

Penyelesaian :

Jika diputar 360 derajat maka daerah yang di raster tersebut menjadi :

Lihat atau download soal-soal beserta pembahasan volume benda putar terhadap sumbu Y disini

Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar Terhadap Sumbu-X

Benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi).

LIHAT ATAU DOWNLOAD CONTOH-CONTOH SOAL PEMBAHASAN VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR TERHADAP SUMBU X DI SINI

Teorema Fundamental Kalkulus

Teorema fundamental kalkulus terdiri dari dua bagian. Teorema fundamental kalkulus bagian pertama berisi tentang cara mendiferensialkan integral tentu dalam bentuk tertentu, dan memberi tahu tentang adanya hubungan yang sangat erat antara turunan dan integral.

 Contoh Soal :

Tentukanlah pendiferensialan (dy/dx) pada masing-masing persamaan integral berikut :

Menentukan Integral Tentu Berdasarkan Definisi

Untuk penjelasan lebih lengkap tentang rumus integral Riemann lihat postingan sebelumnya.

Contoh :

1. Hitunglah jumlah Riemann untuk daerah-daerah yang di raster pada gambar berikut :

Pembahasan :

:

Maka jumlah Riemann ditentukan sebagai berikut :

Menentukan Luas Daerah dengan Proses Limit (Integral Riemann)

Kita sudah pasti tahu cara menentukan luas daerah bidang datar seperti persegi, persegi panjang, jajar genjang, dan bangun datar beraturan lainnya. Akan tetapi bagaimana cara menentukan luas daerah bidang datar yang berbentuk seperti gambar di bawah in?

Nah, pada postingan kali ini saya akan membahas cara penentuan luas daerah menggunakan defenisi integral tentu atau integral Riemann.

Perhatikan gambar berikut :

 

Kita akan menentukan luas daerah yang di arsir pada grafik diatas.

Pada interval [0,2]  kita akan membagi menjadi sub-interval dengan lebar yang sama, misal kita akan membagi luas daerah yang di arsir tersebut menjadi empat bagian, maka :

Teknik Pengintegralan dengan Substitusi aljabar (Bagian2)

Ada kalanya pengintegralan memerlukan teknik-teknik khusus. Salah satunya adalah metode substitusi aljabar.
Misalkan dengan substitusi u=g(x), g merupakan fungsi yang mempunyai turunan, maka :

dapat diubah menjadi :

Sehingga pengintegralan tersebut lebih sederhana dan mudah untuk diselesaikan.

Contoh :
Tentukan integral berikut

Penggunaan Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah : Luas Daerah Yang Dibatasi Oleh Beberapa Kurva

Misalkan diketahui kurva f dan g masing-masing dirumuskan dengan persamaan y=f(x)  dan  y=g(x) pada interval [a,b]. Kedua kurva ini kontinu dengan

Maka, luas daerah yang diarsir adalah :

Atau agar lebih mudah mengingat rumusnya :

 

Penggunaan Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah : Luas Daerah Antara Kurva dengan Sumbu X

1.  Daerah di atas sumbu x
  

Perhatikan gambar di atas, daerah yang di arsir terletak di atas sumbu x, berarti f(x)>0 sehingga,

Rumus Luas daerah yang di arsir adalah :

2. Daerah di bawah sumbu x

Perhatikan gambar diatas, daerah yang di arsir terletak di bawah sumbu X, berarti f(x)<0 , sehingga 

Sedangkan luas daerah selalu positif, maka luas daerah yang di arsir adalah :

Integral Parsial

      Pada postingan pertama, saya akan membahas tentang integral parsial berikut contoh-contoh soalnya. Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasarkan pada turunan suatu fungsi hasil kali. Yaitu :

kita integralkan kedua ruas sehingga :

 

 Catatan :

Pilihlah u dan dv sehingga :

·  ➧ u lebih mudah didiferensialkan dan dv mudah untuk diintegralkan

·  ➧ integral v.du lebih mudah di integralkan daripada integral u.dv

 Contoh Soal :

Ada kalanya pula pada pengintegralan parsial lebih dari satu kali. Bisa dilihat pada contoh berikut: