Teknik Pengintegralan dengan Substitusi aljabar (Bagian2)

Ada kalanya pengintegralan memerlukan teknik-teknik khusus. Salah satunya adalah metode substitusi aljabar.
Misalkan dengan substitusi u=g(x), g merupakan fungsi yang mempunyai turunan, maka :

dapat diubah menjadi :

Sehingga pengintegralan tersebut lebih sederhana dan mudah untuk diselesaikan.

Contoh :
Tentukan integral berikut

Laju yang Berkaitan/Laju Pertambahan Nilai Fungsi

Laju yang berkaitan/laju pertambahan nilai fungsi adalah salah satu aplikasi turunan fungsi. Sebelum  mempelajari materi laju yang berkaitan ada baiknya kita sudah terlebih dahulu memahami konsep diferensiasi implisit karena  inti dari materi laju yang berkaitan ini adalah kita menghitung besarnya perubahan sesuatu apabila dikaitkan dengan waktu(d/dt). perubahan sesuatu itu bisa jadi perubahan volume air, volume benda ruang, jari-jari, jarak, tinggi benda dan lain sebagainya.

Bentuk soal pada laju yang berkaitan biasanya adalah soal cerita, sehingga kemampuan menganalisa soal sangat diperlukan,  maka ada baiknya kita mensketsa apa yang diketahui dari soal kedalam bentuk gambar agar lebih memudahkan untuk memahami dan menjawab pertanyaan yang diajukan.

Contoh :

Seorang anak laki-laki menerbangkan layang-layang yang tingginya 150 kaki. Jika layang-layang tersebut bergerak horizontal menjauhi anak itu pada 20 kaki/detik, seberapa cepat tali layang-layang terpakai ketika layang-layang itu 250 kaki dari anak laki-laki tersebut ?

Pembahasan :

Langkah pertama ada baiknya kita mensketsa kedalam gambar apa yang diketahui dari soal agar lebih  mudah memahaminya :

Teknik Integral dengan Pecahan Parsial (bagian 2)

Teknik pengintegralan pecahan parsial adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan soal integral yang biasanya berbentuk pecahan dan tidak bisa diselesaikan dengan metode substitusi. Langkah-langkahnya relatif mudah yaitu dengan memisahkan pecahan penyebutnya kemudian pembilangnya dimisalkan. 

Pengintegralan parsial ini menuntut kita pada penguasaan aljabar karena secara garis besar langkah-langkahnya adalah teknik pemisahan penyebut yang di jumpai pada pelajaran aljabar. Ada beberapa kasus yang di jumpai pada pengintegralan pecahan parsial yang bisa di baca pada postingan sebelumnya.

Contoh :

Tentukan hasil pegintegralan pada soal berikut :

Pembahasan :


Bisa kita lihat pangkat pada pembilangnya lebih besar daripada pangkat penyebutnya. sehingga kita lakukan pembagian suku banyak terlebih dahulu:

Penggunaan Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah : Luas Daerah Yang Dibatasi Oleh Beberapa Kurva

Misalkan diketahui kurva f dan g masing-masing dirumuskan dengan persamaan y=f(x)  dan  y=g(x) pada interval [a,b]. Kedua kurva ini kontinu dengan

Maka, luas daerah yang diarsir adalah :

Atau agar lebih mudah mengingat rumusnya :

 

Penggunaan Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah : Luas Daerah Antara Kurva dengan Sumbu X

1.  Daerah di atas sumbu x
  

Perhatikan gambar di atas, daerah yang di arsir terletak di atas sumbu x, berarti f(x)>0 sehingga,

Rumus Luas daerah yang di arsir adalah :

2. Daerah di bawah sumbu x

Perhatikan gambar diatas, daerah yang di arsir terletak di bawah sumbu X, berarti f(x)<0 , sehingga 

Sedangkan luas daerah selalu positif, maka luas daerah yang di arsir adalah :