Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar Terhadap Sumbu-Y

Benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi). Misalnya, apabila daerah segitiga siku-siku diputar 360 derajat mengelilingi sumbu-y diperoleh benda putar yang berbentuk kerucut lingkar tegak, apabila daerah persegi panjang diputar sejauh 360 derajat mengelilingi sumbu-y maka diperoleh benda putar yang berbentuk silinder lingkar tegak atau tabung, dan lain sebagainya.

Pemutaran terhadap sumbu y, pada dasarnya rumusnya sama dengan pemutaran terhadap sumbu-x, hanya saja pada sumbu-y kita menggunakan batas bawah dan atas pengintegralan menguunakan garis y, dan berdasarkan kurva x atau g(y).

Contoh :
Rumuskan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di raster pada gambar berikut ini di putar sejauh 360 derajat mengelilingi sumbu Y, kemudian hitunglah volume benda putar yang terjadi.

Penyelesaian :

Jika diputar 360 derajat maka daerah yang di raster tersebut menjadi :

Lihat atau download soal-soal beserta pembahasan volume benda putar terhadap sumbu Y disini

Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar Terhadap Sumbu-X

Benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi).

LIHAT ATAU DOWNLOAD CONTOH-CONTOH SOAL PEMBAHASAN VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR TERHADAP SUMBU X DI SINI

PEMBAHASAN SOAL-SOAL LIMIT UN 2013-2016

Limit adalah salah satu materi yang pasti muncul di soal Ujian nasioal dari tahun ke tahun. Salah satu cabang ilmu kalkulus ini biasanya terdiri dari dua soal. Satu soal tentang limit tak hingga pada fungsi aljabar, dan satu soal lagi tentang limit fungsi trigoometri. Pembahasan limit tak hingga pengerjaannya relative panjang dan rumit karena biasanya harus melakukan perasionalan kemudian pembilang dan penyebut harus dibagikan lagi dengan pangkat tertinggi yang ada pada penyebut, akan tetapi pada soal ini bisa dikerjakan dengan cara alternative yang tentunya lebih mudah dan menghemat waktu, mengingat jumlah soal UN yang harus dikerjakan siswa tidaklah sedikit. 

Walaupun tersedia cara alternative tetapi saya tetap melampirkan di pembahasan cara pengerjaan yang biasa, sehingga anda bisa membandingkan keduanya. Karena menurut saya pengerjaan limit tak hingga menggunakan cara biasa tidaklah begitu sulit.

Teorema Fundamental Kalkulus

Teorema fundamental kalkulus terdiri dari dua bagian. Teorema fundamental kalkulus bagian pertama berisi tentang cara mendiferensialkan integral tentu dalam bentuk tertentu, dan memberi tahu tentang adanya hubungan yang sangat erat antara turunan dan integral.

 Contoh Soal :

Tentukanlah pendiferensialan (dy/dx) pada masing-masing persamaan integral berikut :

Menentukan Integral Tentu Berdasarkan Definisi

Untuk penjelasan lebih lengkap tentang rumus integral Riemann lihat postingan sebelumnya.

Contoh :

1. Hitunglah jumlah Riemann untuk daerah-daerah yang di raster pada gambar berikut :

Pembahasan :

:

Maka jumlah Riemann ditentukan sebagai berikut :

Menentukan Luas Daerah dengan Proses Limit (Integral Riemann)

Kita sudah pasti tahu cara menentukan luas daerah bidang datar seperti persegi, persegi panjang, jajar genjang, dan bangun datar beraturan lainnya. Akan tetapi bagaimana cara menentukan luas daerah bidang datar yang berbentuk seperti gambar di bawah in?

Nah, pada postingan kali ini saya akan membahas cara penentuan luas daerah menggunakan defenisi integral tentu atau integral Riemann.

Perhatikan gambar berikut :

 

Kita akan menentukan luas daerah yang di arsir pada grafik diatas.

Pada interval [0,2]  kita akan membagi menjadi sub-interval dengan lebar yang sama, misal kita akan membagi luas daerah yang di arsir tersebut menjadi empat bagian, maka :

Notasi Sigma

Rumus Notasi Sigma :

Akan tetapi pemisahan sigma tidak berlaku untuk perkalian dan pembagian :

Teknik Pengintegralan dengan Substitusi aljabar (Bagian2)

Ada kalanya pengintegralan memerlukan teknik-teknik khusus. Salah satunya adalah metode substitusi aljabar.
Misalkan dengan substitusi u=g(x), g merupakan fungsi yang mempunyai turunan, maka :

dapat diubah menjadi :

Sehingga pengintegralan tersebut lebih sederhana dan mudah untuk diselesaikan.

Contoh :
Tentukan integral berikut

Laju yang Berkaitan/Laju Pertambahan Nilai Fungsi

Laju yang berkaitan/laju pertambahan nilai fungsi adalah salah satu aplikasi turunan fungsi. Sebelum  mempelajari materi laju yang berkaitan ada baiknya kita sudah terlebih dahulu memahami konsep diferensiasi implisit karena  inti dari materi laju yang berkaitan ini adalah kita menghitung besarnya perubahan sesuatu apabila dikaitkan dengan waktu(d/dt). perubahan sesuatu itu bisa jadi perubahan volume air, volume benda ruang, jari-jari, jarak, tinggi benda dan lain sebagainya.

Bentuk soal pada laju yang berkaitan biasanya adalah soal cerita, sehingga kemampuan menganalisa soal sangat diperlukan,  maka ada baiknya kita mensketsa apa yang diketahui dari soal kedalam bentuk gambar agar lebih memudahkan untuk memahami dan menjawab pertanyaan yang diajukan.

Contoh :

Seorang anak laki-laki menerbangkan layang-layang yang tingginya 150 kaki. Jika layang-layang tersebut bergerak horizontal menjauhi anak itu pada 20 kaki/detik, seberapa cepat tali layang-layang terpakai ketika layang-layang itu 250 kaki dari anak laki-laki tersebut ?

Pembahasan :

Langkah pertama ada baiknya kita mensketsa kedalam gambar apa yang diketahui dari soal agar lebih  mudah memahaminya :

Teknik Integral dengan Pecahan Parsial (bagian 2)

Teknik pengintegralan pecahan parsial adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan soal integral yang biasanya berbentuk pecahan dan tidak bisa diselesaikan dengan metode substitusi. Langkah-langkahnya relatif mudah yaitu dengan memisahkan pecahan penyebutnya kemudian pembilangnya dimisalkan. 

Pengintegralan parsial ini menuntut kita pada penguasaan aljabar karena secara garis besar langkah-langkahnya adalah teknik pemisahan penyebut yang di jumpai pada pelajaran aljabar. Ada beberapa kasus yang di jumpai pada pengintegralan pecahan parsial yang bisa di baca pada postingan sebelumnya.

Contoh :

Tentukan hasil pegintegralan pada soal berikut :

Pembahasan :


Bisa kita lihat pangkat pada pembilangnya lebih besar daripada pangkat penyebutnya. sehingga kita lakukan pembagian suku banyak terlebih dahulu:

Penggunaan Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah : Luas Daerah Yang Dibatasi Oleh Beberapa Kurva

Misalkan diketahui kurva f dan g masing-masing dirumuskan dengan persamaan y=f(x)  dan  y=g(x) pada interval [a,b]. Kedua kurva ini kontinu dengan

Maka, luas daerah yang diarsir adalah :

Atau agar lebih mudah mengingat rumusnya :

 

Penggunaan Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah : Luas Daerah Antara Kurva dengan Sumbu X

1.  Daerah di atas sumbu x
  

Perhatikan gambar di atas, daerah yang di arsir terletak di atas sumbu x, berarti f(x)>0 sehingga,

Rumus Luas daerah yang di arsir adalah :

2. Daerah di bawah sumbu x

Perhatikan gambar diatas, daerah yang di arsir terletak di bawah sumbu X, berarti f(x)<0 , sehingga 

Sedangkan luas daerah selalu positif, maka luas daerah yang di arsir adalah :

Solusi-solusi Persamaan Differensial Menggunakan Transformasi Laplace

Ada beberapa cara solusi persamaan diferensial, salah satunya adalah menggunakan metode koefisien tidak tentu yang pernah saya upload. Nah, kali ini saya akan membahas cara penyelesaian persamaan diferensial menggunakan transformasi laplace. Tujuan utama transformasi laplace memang memudahkan solusi persamaan diferensial baik orde satu ataupun dua.

Berikut kita akan membandingkan mana yang lebih mudah nih menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan metode koefisien tidak tentu atau transformasi laplace.

Di bawah ini adalah salah satu soal di dokumen menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan metode koefisien tidak tentu yang pernah saya bahas :

Mari kita bandingkan penyelesaian dengan menggunakan transformasi Laplace :

Persamaan Differensial Eksak Orde Pertama

Kalian bisa lihat atau download pembahasannya di SINI ya....

Semoga bermanfaat 🙏

Persamaan Differensial Non Homogen Orde Dua Metode Koefisien Tidak Tentu

Berawal dari peer kuliah yang soal nya itu diambil dari buku Elementary Differential Equation karangan Boyce Diprima, akhirnya ya udah ketimbang mubazir saya pelajari tapi gak dibagi-bagi, akhirnya saya ketik-ketik aja "sebentar" dan nanti biar bisa di upload.

Menentukan solusi khusus atau partikular pada persamaan tidak homogen ini pada awalnya cukup lah sulit, karena dicari secara panjang lebar ujung-ujungnya malah koq malah tidak ada solusi? tetapi baru saya sadari ternyata untuk menentukan solusi partikularnya haruslah menentukan solusi homogennya terlebih dahulu. Karena solusi homogen dan partikular tidak boleh sama, kesamaan tersebut biasanya muncul karena adanya konstanta pada kedua solusi persamaan itu, dan untuk mengatasi persamasalahan tersebut maka pada solusi partikularnya kita kalikan dengan f(t)=t.

Ya udah deh tidak perlu berbasa-basi lagi, contoh-contoh soal tersebut bisa kalian download di link di bawah ini, saya juga menjelaskan beberapa trik dalam menentukan solusi khusus persamaan tidak homogen tersebut.
semoga bermanfaaat 🙆

Pembahasan tersbut bisa kalian lihat atau download di SINI

Invers Transformasi Laplace

Pada postingan sebelumnya saya telah membahas tentang transformasi Laplace, nah pada postingan kali ini saya akan membahas kebalikannya atau yang disebut juga invers transformasi laplace, yang namanya juga kebalikan maka yang diketahui adalah F(s) nya atau bentuk transformasi Laplacenya yang akan kita ubah kembali ke bentuk fungsi f(t) atau f(x).

Materinya tidakalah sulit, hanya perlu sedikit trik manipulasi aljabar.

Materi nya silakan bisa kamu download di SINI.

TRANSFORMASI LAPLACE

Kali ini saya tidak memposting tentang integral, tapi materi persamaan diferensial yaitu transformasi laplace, walaupun sebenarnya dalam transformasi laplace ini integral tetap digunakan pada saat mengubah bentuk f(x) atau f(t) menjadi F(s).
Transformasi laplace pada dasarnya adalah sebuah "alat" yang digunakan untuk menentukan persamaan diferensial menjadi lebih mudah.

Ya, udah segitu aja kalian bisa mendownload bahan transformasi laplace yang sudah saya sediakan di SINI.

Semoga bermanfaat ya 🙏

Pengintegralan Parsial dengan Menggunakan Tabel

Pengintegralan parsial dengan menggunakan rumus seperti pada postingan sebelumnya, khususnya pengintegralan parsial yang berulang akan terasa lebih sulit dan merepotkan, akan tetapi jika menggunakan tabel teknik pengintegralannya akan relative lebih praktis dan mudah. Metode yang digunakan tetap sama,yaitu menurunkan sebagian fungsi dan mengintegralkan bahagian yang lainnya.

Dalam pengintegralan parsial menggunakan tabel ini memakai tiga aturan yang masing-masing yang pembahasannya bisa anda download dibawah ini.

DOWNLOAD PEMBAHASAN Pengintegralan parsial menggunakan tabel DI SINI

TEKNIK PENGINTEGRALAN TRIGONOMETRI

Berikut ini adalah pembahasan pengintegralan trigonometri dan contoh-contohnya. Integral trigonometri memakai trik khusus yang akan memudahkan dalam pengintegralannya. Postingan berikut ini akan membahas secara lengkap pengintegralan sin, cos, tan, cosecan, secan, dan cotangen.  Semoga bermanfaat.

Download pembahasan pengintegralan trigonometri di SINI

Integral Parsial

      Pada postingan pertama, saya akan membahas tentang integral parsial berikut contoh-contoh soalnya. Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasarkan pada turunan suatu fungsi hasil kali. Yaitu :

kita integralkan kedua ruas sehingga :

 

 Catatan :

Pilihlah u dan dv sehingga :

·  ➧ u lebih mudah didiferensialkan dan dv mudah untuk diintegralkan

·  ➧ integral v.du lebih mudah di integralkan daripada integral u.dv

 Contoh Soal :

Ada kalanya pula pada pengintegralan parsial lebih dari satu kali. Bisa dilihat pada contoh berikut: